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科學與近代世界 第 10 頁


因此,當我們評述一種理論時,如果它的基礎是把數學應用在特殊的實際事例上,我們心中便應當把以下三種過程完全記清楚。 首先我們必須細細地檢查一下純數學的推理,驗明它沒有漏洞,
作者:待考 / 頁數:(10 / 73)

因此,當我們評述一種理論時,如果它的基礎是把數學應用在特殊的實際事例上,我們心中便應當把以下三種過程完全記清楚。時尚書屋

首先我們必須細細地檢查一下純數學的推理,驗明它沒有漏洞,沒有因為偶然疏忽而產生的不合邏輯的地方。時尚書屋
任何數學家都能從本身痛苦的經驗中認識到,開始擬定一系列推理過程時很容易發生一點極微小的錯誤,後來卻因此而差之毫釐、謬以千里。但當一種數學推論已經檢驗過,並且在專家們之前考驗過一個時期之後,偶然的錯誤是不大可能發生的。接着,第二個過程是,確實肯定一下,這個推論所預先假定的抽象條件是否可以成立。這就是把數學推論開始的抽象前提確定一下。時尚書屋
這一過程是相當困難的。以往曾經發
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第二章 作為思想史要素之一的數學72
生過極其顯然的疏忽,而且這些竟被許多最偉大的數學家歷代相沿地接受下來了。這裡面最大的危險就是疏忽;也就是說,在不知不覺之間引入某些我們認為自然應當事先設定的條件,然而事實上這些條件卻不一定都能成立。在這一方面還存在着一個相反的疏忽,這種疏忽倒不會造成錯誤,只是會使推理複雜化。也就是說,必要的假設條件很容易被估計得多於實際的要求。時尚書屋
換句話說,我們可能認為某些抽象的假設是必要的,但實際上卻可以從其他已有的假設上證明出來。時尚書屋
抽象的假設提得過多,唯一的效果就是使我們在數學推理中減少審美方面的樂趣,並且會給第三個評述過程造成麻煩。時尚書屋
第三個評述過程是驗證我們的抽象假設在當前的特殊事例中是否能成立。一切的麻煩都是從這個驗證特殊事例的過程中產生的。時尚書屋
在數40個蘋果這種簡單的事例中,只要稍加留心就可以在實際上達到肯定的程度。但一般說來,在十分複雜的事例上就不可能達到完全肯定的程度。為這一問題而寫的書籍簡直是汗牛充棟。時尚書屋
但這是對立的哲學家交鋒的戰場。時尚書屋

這裡面牽涉到兩個不同的問題。一方面是我們已經觀察到了某些確定的東西,同時我們又要確實弄明白這些東西之間的關係的確服從于某些固定的嚴格抽象條件。這兒發生錯誤的可能性就非常大了。時尚書屋
一切嚴格的科學觀察法都只是一些措施,為的是減少這些關於直接事實的錯誤。但這兒又產生了另一個問題:被直接觀察到的事物几乎永遠只是一些例子。我們所要作的結論是:某些抽象條件如果在例證中能成立,那麼在其他一切由於某種理由而被認為是屬於同一類型的實有中也都能成立。時尚書屋
這種由例證而推論及全體的推理過程就叫歸納法。時尚書屋
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82第二章 作為思想史要素之一的數學
歸納法的理論是哲學上無法處理的東西,然而我們的一切行為又都以這種理論為基礎。總而言之,當我們評述一件特殊實際事物的數學結論時,真正的困難在於找出被牽涉到的抽象假設,並對它能否適用於當前的特殊事例的證據加以估價。時尚書屋
因此,我們常常看到,在評述一部造詣極深的應用數學書籍或一篇論文時,一切的麻煩就在於第一章上,甚至于就在第一頁上。因為正是在這個剛一開始的地方,作者很可能在假設上有失誤。時尚書屋
同時,麻煩還不在於作者說了一些什麼,而在於他沒有說的是什麼;不在於他明確了的假設,而在於他不知不覺地作出的假設。我們並不懷疑作者的誠實,這裡所批評的是他自作聰明的地方。每一代人都批評上一代所作的非意識的假設。人們也可能同意這種假設,但卻不能讓它停留在非意識階段,而要把它揭示出來。時尚書屋
語言發展史可以說明這一問題。這種歷史是觀念分析不斷進展的歷史。拉丁文和希臘文都是有字尾變化的語言。這就是說,他們表達一叢未加分析的觀念時只要把字尾變一下格就行了。時尚書屋
但拿英文來說,我們便要用前置詞和助動詞來表明整個的意義。把輔助的意義硬塞進主要的詞句中去雖不見得對所有的文學體裁都方便,但對某些體裁卻可能是一個方便。不過,就表達明了這一方面說來,英語這種語言卻是高得不可比擬的。明了程度的加強就是把語句涵義中的複雜觀念所牽涉的各種抽象概念更完整地表達出來。時尚書屋
拿語言的情形作了一個比較,就可以看出純數學所達到的思想功能是什麼。時尚書屋
這是完全走向完整的分析的有效步驟,這樣做為的是把單純的事物和這種事物所體現的純抽象條件分
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第二章 作為思想史要素之一的數學92
開來。時尚書屋
這種分析的習慣啟發了人類腦筋的每一種功能。它首先通過分離的方法,強調從審美觀點出發直接體察經驗的內容。時尚書屋
這種直接體察是理解經驗本身就其固有的特質包括它的直接實際價值在內說來,究竟是什麼。這是屬於直接經驗方面的問題,必須依靠精微的感覺。然後便是把有關的特殊實有抽象化的問題,也就是把這些實有和它被瞭解時所處的特殊經驗狀況分離開來,從而理解它的本身。最後還要進一步理解這些經驗中的實有之間的特殊關係所能滿足的絶對普遍條件。時尚書屋
這些條件之所以具有普遍性,是因為它們可以不涉及某種特殊經驗中所發生的某些特殊關係或特殊狀態,單靠本身就能表示出來。這些條件可以適用於牽涉其他實有和其他相互關係的無數事態。因此,這些條件是完全普遍的,因為它們不涉及任何特殊事態或在不同事態下存在的任何特殊實有如綠、紅、樹等
,也不牽涉這些實有之間的關係。時尚書屋




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