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科學與近代世界 第 9 頁


我們不妨回溯到幾千年以前,看看當時的人甚至連最偉大的賢哲的腦筋都是多麼簡單。某些抽象概念在我們看來也許一眼就能看清,但他們卻認為只能作大概的理解。就拿數字來當例子吧。我們認為「
作者:待考 / 頁數:(9 / 73)

我們不妨回溯到幾千年以前,看看當時的人甚至連最偉大的賢哲的腦筋都是多麼簡單。某些抽象概念在我們看來也許一眼就能看清,但他們卻認為只能作大概的理解。就拿數字來當例子吧。我們認為「5」這個數字可以應用到任何適當的一群實念上去,如5條魚、5個小孩、5個蘋果、5天等。時尚書屋

因此,在考慮數字「5」與數字「3」的關係時,我們所想的便是兩群東西,一群有5個個體,另一群有3個個體。我們決不會去考慮組成兩群的任何個別的實有,甚至也不會去考慮其中的某一類實有。我們所考慮的兩群之間的關係與兩群中任何個體本身的本質完全無關。這便是抽象推理中非常顯著的功績。時尚書屋
人類要達到這一步必然花去了不少的歲月。在漫長的時間中,一堆堆的魚必須互相比出一個多少,一段一段的
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42第二章 作為思想史要素之一的數學
日子也要作出一個比較。但首先注意到7條魚和7天之間的共同點的人必然使思想史進了一大步。他是第一個具有純數學觀念的人。當時他一定還不可能看出有待發現的抽象數學觀念的複雜性與微妙性,也一定料想不到這些觀念會在往後的每一個世紀中發生廣泛的吸引力。時尚書屋
學術界有一個錯誤的傳統,認為對數學的愛好是一種怪癖,每一個時代只有少數的怪人才有這種怪癖。情形儘管是這樣,但抽象思維在古代的社會裡是找不到類似例子的。因此,從這裡面所能得到的樂趣也是難以估計的。第三,數學知識對人類的生活、日常事務、傳統思想以及整個的社會組織等等都將發生巨大的影響,這一點更是完全出乎早期思想家的意料之外了。時尚書屋
甚至一直到現在,數學作為思想史中的一個要素來說,實際上應占什麼地位,人們的理解也還是搖擺不定的。假如有人說;編著一部思想史而不深刻研究每一個時代的數學概念,就等於是在「漢姆雷特」
這一劇本中去掉了漢姆雷特這一角色。時尚書屋
這種說法也許太過份了,我不願說得這樣過火。但這樣做卻肯定地等於是把奧菲莉這一角色去掉了。這個比喻是非常確切的。奧菲莉對整個劇情來說,是非常重要的,她非常迷人,同時又有一點瘋瘋癲癲。時尚書屋
我們不妨認為數學的研究是人類性靈的一種神聖的瘋癲,是對咄咄逼人的世事的一種逃避。時尚書屋
當我們想到數學時,心裡便出現一種專門探討數、量、幾何等等的科學。近代數學還包括許多更抽象的序數概念以及純邏輯關係的類似型式的研究等等。數學的特點是:我們在這裡面可以完全擺脫特殊事例,甚至可以擺脫任何一類特殊的實有。時尚書屋

因此並沒有只能應用於魚、石頭或顏色的數學真理。時尚書屋
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第二章 作為思想史要素之一的數學52
當你研究純數學時,你便處在完全、絶對的抽象領域裡。你所說的一切不過是:理性堅信任何實有如果具有能滿足某某純抽象條件的關係,就必然也具有能滿足另一件純抽象條件的關係。時尚書屋
數學被認為是在完全抽象的領域裡活動的科學,它和自身所研究的任何特殊事例都脫離了關係。這種數學觀還不太明確,所以我們可以相信,一直到現在這種看法還不能為一般人所瞭解。舉個例來說,一般人在習慣上都認為我們對實際宇宙空間的幾何知識的肯定性所根據的理由就是數學的肯定性。這一幻覺在過去曾引起過許多哲學思維,到現在也仍然能引起一些哲學思維。時尚書屋
幾何問題是一個相當重要的測驗。時尚書屋
對於許多群未定的實有說來,有好幾套不同的純抽象條件都可以成為這些群之間的關係。我把這些條件稱為幾何條件。我......
們在自身對於自然界的直接感覺中可以觀察到事物之間具有某種幾何關係。上述的抽象條件中有某些條件被認為是可以適用這種特殊幾何關係的。而其他各種抽象條件一般說來又都類似這種條件,因此我便通稱之為幾何條件。但我們這種觀察還不夠準確。時尚書屋
所以關於我們在自然界中所見到的事物,究竟受着什麼樣的條件控制,也知道得不夠確切。但我們只要把假說稍微引伸一下,就能使這些被觀察到的條件符合某一套完全抽象的幾何條件。這類未定實有原先在抽象科學中本只是一些單純的敘述。但這樣一來,我們就對它作出了某種特殊的決定。時尚書屋
在關於幾何關係的純數學中,如果任何一群實...
有在本群各單位之間所具有的任何關係能滿足某一套抽象的......
幾何條件,則某種性質的附加抽象條件一定也能符合這種關
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62第二章 作為思想史要素之一的數學
系。但當我們討論物理空間時,便會說某群被確定地觀察到的物理實有在本群各實有之間具有某種被確定地觀察到的關係,這種關係能滿足上述的一套抽象幾何條件。因此我們就作出結論說:如果某種附加關係被認定能符合任何這類情形,...
就一定能符合這一特殊情形...........
數學的肯定性建築在它完全抽象的一般性上。我們相信實際世界中被觀察到的實有能成為我們普遍推理過程中的一個特殊事例,但我們並沒有先天的肯定性可以認為這種信念是對的。不妨再舉一個算術中的例子來看:純數學中有一條普遍的抽象真理,認為任何包含40個實有的一群可以分為包含20個實有的兩群。時尚書屋
因此我們便有根據認為,如果某堆蘋果包含40個個體,便可以分成兩堆,每堆中包含20個個體。時尚書屋
但我們把40個那一堆數錯的可能是常有的,所以實際上分的時候就可能有一堆多一個,另一堆少一個。時尚書屋




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